Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

Er bestaan drie vormen van warmtetransport: - De eerste is conductie: Dit is wanneer de warmte zich door een materiaal heen verplaatst zonder dat het materiaal zelf verplaatst. - De tweede is convectie: Warmte wordt overgedragen via een stroming van een bepaald vloeistof of gas (zoals water of lucht) in beweging. - De derde en laatste is radiatie : De warmte wordt via electromagnetische straling overgebracht (zoals bv de zonnestraling die de aarde opwarmt)

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(8)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(9)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

# Hier de data en de analyse

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit

def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

r=3e-2 
h=5.12e-2
dikte = 1.5e-3
dichtheid=8.73e3
buitenoppervlak = 2*np.pi*r*h # bepaal zelf in m^2
V = buitenoppervlak*dikte
massa = V*dichtheid
warmtecapaciteit = 3.8e2*massa # bepaal de warmtecapaciteit in J/K 
#omgevings temperatuur = 20+273.15 = 293.15 K

#buis zonder dopje
times0 = np.array([0,15,30,45,60,70,80,90,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,250,260,270,280,290,300,310,320,330,340,350,360,370,380,390,400,410])
temps0_Celc= np.array([39.5,38.2,37.6,36.9,36.3,35.8,35.5,35.1,34.8,34.5,34.1,33.8,33.6,33.4,33.0,32.8,32.6,32.4,32.1,31.4,31.8,30.9,30.9,30.3,30.6,30.6,30.7,30.2,30.4,30.2,29.7,29.8,29.9,29.8,29.8,29.7,29.7,29.5,29.3,29.2])
temps0_K = temps0_Celc+273.15
#buis met dopje
times1 = np.arange(0,401,10)
temps1_Celc = np.array([45.9,45.6,43.7,43.1,42.5,41.5,41.0,40.2,39.7,39.0,38.5,38.0,37.7,37.0,36.6,36.4,36.0,35.6,35.2,34.9,34.7,34.4,34.1,33.8,33.4,33.2,33.0,32.8,32.7,32.5,32.2,32.1,31.9,31.7,31.6,31.4,31.4,31.4,31.3,31.1,31.0])
temps1_K = temps1_Celc+273.15

# pas beginwaardes aan naar schatting
# Het aantal maxfev moet wellicht hoger voor goede convergentie van de waarde

#buis zonder dopje
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times0, temps0_K, p0=[50, 1000, 20], maxfev=5000)

A_exp0, tau_exp0, T_omg_exp0 = popt

y_fit0 = exp_func(times0, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times0, temps0_K, 'bo', label='measurement zonder dopje')
plt.plot(times0, y_fit0, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp0, tau_exp0, T_omg_exp0))

plt.legend()

plt.show()

h_exp0 = (warmtecapaciteit) / (tau_exp0 * buitenoppervlak)
 
print("karakteristieke tijd = %0.4f s" % (tau_exp0))
print("Warmteoverdrachtscoëfficiënt = %0.4f W/m^2.K" % (h_exp0))
# Sla figuren op met  
plt.savefig("Buizen_proef_zonder_dop.png", dpi=450)


#buis met dopje
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times1, temps1_K, p0=[50, 1000, 20], maxfev=5000)

A_exp1, tau_exp1, T_omg_exp1 = popt

y_fit1 = exp_func(times1, *popt)

plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times1, temps1_K, 'bo', label='measurement met dopje')
plt.plot(times1, y_fit1, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp1, tau_exp1, T_omg_exp1))

plt.legend()

plt.show()

h_exp1 = (warmtecapaciteit) / (tau_exp1 * buitenoppervlak)
 
print("karakteristieke tijd = %0.4f s" % (tau_exp1))
print("Warmteoverdrachtscoëfficiënt = %0.4f W/m^2.K" % (h_exp1))
# Sla figuren op met  
plt.savefig("Buizen_proef_met_dop.png", dpi=450)

karakteristieke tijd = -5046790.7220 s
Warmteoverdrachtscoëfficiënt = -0.0010 W/m^2.K

<Figure size 640x480 with 0 Axes>

karakteristieke tijd = -2689742.3012 s
Warmteoverdrachtscoëfficiënt = -0.0019 W/m^2.K

<Figure size 640x480 with 0 Axes>

Vergelijking met groepsgenoten : niet van toepassing (te weinig tijd voor data analyse ter plekken).

Convectie is hier het grootste vorm van warmtetransport die voorkomt: convectie aan de lucht die afhankt van orientatie van de buis en van het aanweigheid van de dop. Dat verklaart ook het verschil tussen de metingen, karakteristieke tijd en warmteoverdrachtscoëfficient tussen de proef met en zonder dop. Een deel van de warmtetransport is ook door stralling veroorzaakt. De warme metalen buis heeft een hogere temperatuur de dan omgeving, dus zendt continu infrarood stralling uit. Aangezien het verschil tussen de temperatuur van de buis en de omgeving niet heel groot is, is de bijdrage van deze vorm van warmtetransport aan het afkoelen van de buis niet heel groot. De warmtetransport veroorzaakt door geleiding is verwaarloosbaar. Het gebeurd alleen op de contactpunten van de grijpers, maar die zijn oof geisoleerd door stukjes rubber, waardoor er minimale warmtetransport onstaat.

Discussie en conclusie¶

#your code/answer